निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज

चक्रवृद्धि ब्याज प्रारंभिक मूलधन पर  और एक जमा या ऋण की पिछली अवधि के संचित ब्याज पर गणना की जाती है  । चक्रवृद्धि ब्याज का प्रभाव आवृत्ति पर निर्भर करता है।

12% की वार्षिक ब्याज दर मान लें। यदि हम वर्ष की शुरुआत $ 100 से करते हैं और केवल एक बार यौगिक करते हैं, तो वर्ष के अंत में, मूल राशि $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112) हो जाती है। केवल सिद्धांत पर लागू ब्याज को साधारण ब्याज कहा जाता है। यदि हम इसके बजाय हर महीने 1% पर कंपाउंड करते हैं, तो हम साल के अंत में $ 112 से अधिक के साथ समाप्त हो जाते हैं। यानी $ 100 x 1.01 ^ 12 $ 112.68 के बराबर है। (यह अधिक है क्योंकि हमने अधिक बार कंपाउंड किया है।)

लगातार मिश्रित रिटर्न सभी के सबसे अधिक बार मिश्रित होता है। निरंतर चक्रवृद्धि वह गणितीय सीमा है जो चक्रवृद्धि ब्याज तक पहुँच सकती है। यह चक्रवृद्धि का एक चरम मामला है क्योंकि अधिकांश ब्याज मासिक, त्रैमासिक या अर्धवार्षिक आधार पर संयोजित होते हैं।

चाबी छीन लेना

• साधारण ब्याज केवल सिद्धांत पर लागू होता है और कोई संचित ब्याज नहीं।
• चक्रवृद्धि ब्याज सिद्धांत और पहले लागू ब्याज पर उपार्जित ब्याज है।
• चक्रवृद्धि ब्याज का प्रभाव इस बात पर निर्भर करता है कि इसे कितनी बार लागू किया जाता है।
• बॉन्ड के लिए, बॉन्ड समतुल्य उपज अपेक्षित वार्षिक रिटर्न है।
• कई अवधि के दौरान लगातार कंपाउंडिंग रिटर्न पैमाने।
• कहा जाता है कि इसकी उच्चतम आवृत्ति पर ब्याज चक्रवृद्धि को निरंतर चक्रवृद्धि कहा जाता है।

रिटर्न की सेमियनुअल दरें

सबसे पहले, चलो एक संभावित भ्रमित बॉन्ड-समतुल्य उपज (या बॉन्ड-समतुल्य आधार) का उल्लेख करते हैं । इसका मतलब यह है कि यदि कोई बांड अर्ध-आधार पर 6% उपज देता है, तो इसकी बांड-समतुल्य उपज 12% है।

सेमियनुअल उपज केवल दोगुनी है। यह संभावित रूप से भ्रामक है क्योंकि 12% बॉन्ड-समतुल्य उपज बॉन्ड की प्रभावी उपज 12.36% है (यानी, 1.06 ^ 2 = 1.1236)। सेमियनुअल उपज को दोगुना करना एक बंधन नामकरण सम्मेलन है। इसलिए, यदि हम एक 8% बॉन्ड के बारे में पढ़ते हैं, तो हमें लगता है कि यह 4% सेमिनुअल उपज है।

त्रैमासिक, मासिक और दैनिक दरों की वापसी

अब, उच्च आवृत्तियों पर चर्चा करते हैं। हम अभी भी 12% वार्षिक बाजार ब्याज दर मान रहे हैं। बांड नामकरण सम्मेलनों के तहत, यह एक 6% अर्धवार्षिक यौगिक दर का अर्थ है। अब हम तिमाही चक्रवृद्धि दर को बाजार की ब्याज दर के एक समारोह के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

वार्षिक बाजार दर ( r) को देखते हुए , त्रैमासिक चक्रवृद्धि दर ( r q ) निम्न द्वारा दी गई है:

इसलिए, हमारे उदाहरण के लिए, जहां वार्षिक बाजार दर 12% है, तिमाही चक्रवृद्धि दर 11.825% है:

आरक्यू=४
उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।आरक्यूउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।=४[(२

मासिक कंपाउंडिंग पर एक समान तर्क लागू होता है। मासिक चक्रवृद्धि दर ( r m ) यहाँ वार्षिक बाजार ब्याज दर ( r) के कार्य के रूप में दी गई है :

बाजार की ब्याज दर ( आर) के कार्य के रूप में दैनिक यौगिक दर ( डी) द्वारा दिया गया है:

आरघ=३६०
आरघउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।=३६०[(२

कैसे सतत यौगिक काम करता है

यदि हम इसकी सीमा में यौगिक आवृत्ति बढ़ाते हैं, तो हम लगातार यौगिक कर रहे हैं। हालांकि यह व्यावहारिक नहीं हो सकता है, निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर अद्भुत रूप से सुविधाजनक गुण प्रदान करती है। यह पता चला है कि निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर निम्न द्वारा दी गई है:

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समय की छोटी वृद्धि के साथ, अर्जित ब्याज की राशि असीम रूप से छोटी है।

Ln () प्राकृतिक लॉग है और हमारे उदाहरण में, निरंतर मिश्रित दर इसलिए है:

आरसीहेएनटीमैंएनयूहेयूरों=एल.एन.⁡()1+०।1२)=एल.एन.⁡()1।1२)≅11।३३%\ _ {संरेखित करें & r_ {निरंतर} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {संरेखित}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।आरcontinuousउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।=ln(1)+०।12)=एलएन(1।12)≅११।33%उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

हम इस अनुपात के प्राकृतिक लॉग को ले कर एक ही जगह पर आते हैं: प्रारंभिक मूल्य, जो शुरुआती मूल्य से विभाजित होता है।

आरसीहेएनटीमैंएनयूहेयूरों=एल.एन.⁡()ValueईएनडीValueएसटीएकआरटी)=एल.एन.⁡()11२1००)≅11।३३%\ start {align} & r_ {Contin} = \ ln \ left (\ frac {\ text {value} _ \ text {End}} {\ text {value} _ \ text {start}} \ right) = \ ln \ बाएँ (\ frac {112} {100} \ दाएँ) \ cong 11.33 \% \\ \ end {संरेखित}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।आरcontinuousउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।=ln()मूल्यशुरूउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

किसी शेयर के लिए निरंतर कंपाउंडेड रिटर्न की गणना करते समय उत्तरार्द्ध सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक अगले दिन $ 10 एक दिन से $ 11 तक कूदता है, तो दैनिक रूप से निरंतर चक्रवृद्धि प्रतिफल दिया जाता है:

आरसीहेएनटीमैंएनयूहेयूरों=एल.एन.⁡()ValueईएनडीValueएसटीएकआरटी)=एल.एन.⁡()$11$1०)≅९।५३%\ start {align} & r_ {Contin} = \ ln \ left (\ frac {\ text {value} _ \ text {End}} {\ text {value} _ \ text {start}} \ right) = \ ln \ बायाँ (\ frac {\ _ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {%}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।आरcontinuousउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।=ln()मूल्यशुरूउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

निरंतर मिश्रित दर (या वापसी) के बारे में क्या इतना अच्छा है कि हम आर सी के साथ निरूपित करेंगे? सबसे पहले, इसे आगे बढ़ाना आसान है। (पी) के एक प्रमुख को देखते हुए, हमारे अंतिम धन से अधिक (एन) वर्ष के द्वारा दिया जाता है:

w=पीइआरसीएन\ start {align} और w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {align}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।w=Pईआरसीउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।एनउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

ध्यान दें कि  ई  घातीय कार्य है। उदाहरण के लिए, यदि हम $ 100 से शुरू करते हैं और तीन वर्षों में 8% पर लगातार चक्रवृद्धि करते हैं, तो अंतिम धनराशि निम्न द्वारा दी जाती है:

w=$1००इ()०।०।)()३)=$1२।।1२\ शुरू {गठबंधन} और w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ अंत {गठबंधन}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।w=$100ई(0।08)(3)=$127।१२उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

करने के लिए छूट वर्तमान मूल्य (PV) है केवल रिवर्स में समझौता, तो एक के वर्तमान मूल्य भविष्य मूल्य (एफ) के (दर से लगातार बढ़ आर सी ) द्वारा दिया जाता है:

PV of F rec ceived in (n) years=एफइआरसीएन=एफइ-आरसीएन\ n {वर्ष} (\ n) सालों में प्राप्त {एएल} और \ टेक्स्ट {एफ ऑफ एफ (एफ) {= फ़्रेक {एफ} {ई ^ {आर_सी एन}} = ​​फ़े ^ { -r_c n} \\ \ एंड {एलायंस}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।F का PV (n) वर्षों में प्राप्त हुआ=इआरसीउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।एन

उदाहरण के लिए, यदि आप 6% निरंतर दर के तहत तीन वर्षों में $ 100 प्राप्त करने जा रहे हैं, तो इसका वर्तमान मूल्य निम्न है:

पीवी=एफइ-आरसीएन=()$1००)इ-()०।०६)()३)=$1००इ-०।1।≅$।३।५३\ start {align} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (($ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83,0003 \\ \ अंत {संरेखित}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।पीवी=एफई-आरसीउन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।एन=($100)ई-(0।06)(3)=$100ई-0।१8≅$83।५३उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।

एकाधिक अवधि में स्केलिंग

लगातार चक्रवृद्धि रिटर्न की सुविधाजनक संपत्ति यह है कि यह कई अवधि से अधिक होता है। यदि पहली अवधि के लिए रिटर्न 4% है और दूसरी अवधि के लिए रिटर्न 3% है, तो दो-अवधि का रिटर्न 7% है। विचार करें कि हम वर्ष की शुरुआत $ 100 से करते हैं, जो पहले वर्ष के अंत में बढ़कर $ 120 हो जाती है, फिर दूसरे वर्ष के अंत में $ 150 हो जाती है। लगातार मिश्रित रिटर्न क्रमशः 18.23% और 22.31% है।

एल.एन.⁡()1२०1००)≅1।।२३%\ start {align} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {गठबंधन}उन्होंने कहा कि इस तरह की घटनाओं को रोकने के लिए सरकार ने कई कदम उठाए हैं।ln()१००

एल.एन.⁡()1५०1२०)≅२२।३1%\ start {align} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {गठबंधन}​ln(120

If we simply add these together, we get 40.55%. This is the two-period return:

ln⁡(150100)≅40.55%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 100 } \right ) \cong 40.55\% \\ \end{aligned}​ln(100

Technically speaking, the continuous return is time consistent. Time consistency is a technical random variable, we want multiple-period random variables to be normally distributed also. Furthermore, the multiple-period continuously compounded return is normally distributed (unlike, say, a simple percentage return).

Continuous Compounding FAQs

What Does It Mean to Be Compounded Continuously?

To be compounded continuously means that there is no limit to how often interest can compound. Compounding continuously can occur an infinite number of times, meaning a balance is earning interest at all times.

Does Compounded Continuously Mean Daily?

Compounded continuously means that interest compounds every moment, at even the smallest quantifiable period of time. Therefore, compounded continuously occurs more frequently than daily.

Why Is Continuous Compounding Used?

Continuous compounding is used to show how much a balance can earn when interest is constantly accruing. For investors, they can calculate how much they expect to receive from an investment earning a continuously compounding rate of interest.

What Is the Difference Between Discrete and Continuous Compounding?

Discrete compounding applies interest at specific times, such as daily, monthly, quarterly, or annually. Discrete compounding explicitly defines the time in which interest will be applied. Continuous compounding applies interest continuously, at every moment in time.

What Is the Difference Between Compounding Annually and Continuously?

Compounding annually means that interest is applied to the principle and previously accumulated interest annually; whereas, compounding continuously means that interest is applied to the principle and accumulated interest at every moment. There is not a fraction of time that interest is not applied with continuous compounding.

The Bottom Line

We can reformulate annual interest rates into semiannual, quarterly, monthly, or daily interest rates (or rates of return). The most frequent compounding is continuous compounding, which requires us to use a natural log and an exponential function, commonly used in finance due to its desirable properties. Compounding continuously returns scale easily over multiple periods and is time consistent.