सशर्त संभाव्यता

सशर्त संभावना क्या है?

सशर्त संभाव्यता को किसी घटना या परिणाम की संभावना के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पिछली घटना या परिणाम की घटना के आधार पर होता है। सशर्त संभाव्यता की गणना सफल होने या सशर्त, घटना की अद्यतन संभावना से पूर्ववर्ती घटना की संभावना को गुणा करके की जाती है ।

उदाहरण के लिए:

• इवेंट ए यह है कि कॉलेज के लिए आवेदन करने वाले व्यक्ति को स्वीकार किया जाएगा। 80% संभावना है कि इस व्यक्ति को कॉलेज में स्वीकार किया जाएगा।
• इवेंट बी यह है कि इस व्यक्ति को डॉरमेटरी आवास दिया जाएगा। सभी स्वीकृत छात्रों में से 60% को केवल छात्रावास का आवास प्रदान किया जाएगा।
• P (स्वीकृत और डॉरमेटरी हाउसिंग) = P (डॉरमेटरी हाउसिंग | स्वीकृत) P (स्वीकृत) = (0.60) * (0.80) = 0.48।

एक सशर्त संभावना एक दूसरे के साथ इन दो घटनाओं को देखेगा, जैसे कि संभावना है कि आप दोनों को कॉलेज में स्वीकार किया जाता है,  और  आपको डॉरमेटरी आवास प्रदान किया जाता है।

सशर्त संभावना को बिना शर्त संभावना के साथ जोड़ा जा सकता है । बिना शर्त संभावना इस बात की संभावना को संदर्भित करती है कि कोई घटना घटित होगी चाहे कोई अन्य घटना हुई हो या कोई अन्य स्थिति मौजूद हो।

चाबी छीन लेना

• सशर्त संभाव्यता से तात्पर्य उन अवसरों से है जो कुछ परिणाम देते हैं कि एक और घटना भी हुई है।
• इसे अक्सर B दिए गए A की संभावना के रूप में कहा जाता है और P (B | A) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ B की संभावना A के होने पर निर्भर करती है।
• सशर्त संभावना को बिना शर्त संभावना के साथ जोड़ा जा सकता है।

सशर्त संभाव्यता को समझना

जैसा कि पहले कहा गया था, सशर्त संभावनाएं पिछले परिणाम पर आकस्मिक हैं । यह कई धारणाएं भी बनाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप एक बैग से तीन पत्थर, लाल, नीला और हरा रंग खींच रहे हैं। प्रत्येक संगमरमर को खींचे जाने की समान संभावना है। पहले से ही नीले रंग को खींचने के बाद लाल संगमरमर को खींचने की सशर्त संभावना क्या है?

सबसे पहले, नीले संगमरमर को खींचने की संभावना लगभग 33% है क्योंकि यह तीन में से एक संभावित परिणाम है। यह मानते हुए कि यह पहली घटना है, बाकी दो पत्थर होंगे, जिनमें से प्रत्येक के ड्रा होने का 50% मौका होगा। तो पहले से ही लाल संगमरमर खींचने के बाद नीले संगमरमर को खींचने का मौका लगभग 16.5% (33% x 50%) होगा।

इस अवधारणा में और अधिक जानकारी प्रदान करने के लिए एक अन्य उदाहरण के रूप में, विचार करें कि एक निष्पक्ष मौत लुढ़का हुआ है और आपको यह संभावना देने के लिए कहा जाता है कि यह पांच था। छह समान रूप से संभावित परिणाम हैं, इसलिए आपका उत्तर 1/6 है। लेकिन कल्पना करें कि उत्तर देने से पहले, आपको अतिरिक्त जानकारी मिलती है कि लुढ़का हुआ नंबर विषम था। चूंकि संभव है कि केवल तीन विषम संख्याएं हैं, जिनमें से एक पांच है, आप निश्चित रूप से इस संभावना को संशोधित करेंगे कि पांच को 1/6 से 1/3 तक लुढ़काया गया था।

इस  संशोधित  संभावना है कि एक घटना  एक  हुआ है, में अतिरिक्त जानकारी है कि एक और घटना पर विचार  बी  निश्चित रूप से प्रयोग के इस परीक्षण पर आ गई है, कहा जाता है  की सशर्त संभावना  एक  दिए गए  बी  और पी (ए | बी) से दर्शाया जाता है।

सशर्त संभाव्यता सूत्र

P (B | A) = P (A और B) / P (A)

या:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

सशर्त संभाव्यता का एक और उदाहरण

एक अन्य उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि एक छात्र विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए आवेदन कर रहा है और एक शैक्षणिक छात्रवृत्ति प्राप्त करने की उम्मीद करता है। जिस स्कूल में वे प्रत्येक 1,000 आवेदकों में से 100 को स्वीकार कर रहे हैं (10%) और स्वीकार किए जाते हैं (500%) हर 500 छात्रों में से 10 छात्रों को अकादमिक छात्रवृत्ति। छात्रवृत्ति प्राप्तकर्ताओं में से, उनमें से 50% को पुस्तकों, भोजन और आवास के लिए विश्वविद्यालय के वजीफे भी प्राप्त होते हैं। हमारे महत्वाकांक्षी छात्र के लिए, फिर उन्हें छात्रवृत्ति प्राप्त करने का मौका.2% (.1 x.02) प्राप्त होता है। उन्हें स्वीकार किए जाने का मौका, छात्रवृत्ति प्राप्त करना, फिर पुस्तकों आदि के लिए एक वजीफा भी प्राप्त होता है ।1% (.1 x.02 x.5)। (आप बेयस प्रमेय की भी जांच कर सकते हैं ।)

संयुक्त संभावना और सीमांत संभावना बनाम सशर्त संभावना

सशर्त प्रायिकता : p (A | B) घटना A की संभाव्यता है, यह देखते हुए कि घटना B होती है। उदाहरण: यह देखते हुए कि आपने एक लाल कार्ड दिया है, क्या संभावना है कि यह एक चार (पी (चार | लाल)) = 2/26 = 1/13 है। तो 26 लाल कार्डों में से (एक लाल कार्ड दिया गया), दो चार हैं इसलिए 2/26 = 1/13।

सीमांत संभावना : किसी घटना (p (A)) की संभावना, इसे बिना शर्त संभावना माना जा सकता है। यह किसी अन्य घटना पर वातानुकूलित नहीं है। उदाहरण: संभावना है कि एक कार्ड लाल है (पी (लाल) = 0.5)। एक अन्य उदाहरण: संभावना है कि एक कार्ड खींचा एक 4 (पी (चार) = 1/13) है।

संयुक्त संभावना : पी (ए और बी)। ईवेंट ए और  ईवेंट बी होनेकी संभावना । यह दो या दो से अधिक घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना है। A और B के प्रतिच्छेदन की संभावना को p (A। B) लिखा जा सकता है। उदाहरण: संभावना है कि एक कार्ड चार और लाल = पी (चार और लाल) = 2/52 = 1/26 है। (52 के डेक में दो लाल चौके, 4 दिल और 4 हीरे हैं)।

बेयस ‘प्रमेय

18 वीं शताब्दी के ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर बेयस प्रमेय, सशर्त संभाव्यता का निर्धारण करने के लिए एक गणितीय सूत्र है। प्रमेय नए या अतिरिक्त सबूत दिए गए मौजूदा भविष्यवाणियों या सिद्धांतों (अद्यतन संभावनाओं) को संशोधित करने का एक तरीका प्रदान करता है। वित्त में, बेयस प्रमेय का उपयोग संभावित उधारकर्ताओं को धन उधार देने के जोखिम के लिए किया जा सकता है ।

बेयस के प्रमेय को बेयस नियम या बेयस कानून भी कहा जाता है और बेयसियन सांख्यिकी के क्षेत्र की नींव है। संभाव्यता के नियमों का यह सेट किसी को नई जानकारी के आधार पर होने वाली घटनाओं की अपनी भविष्यवाणियों को अपडेट करने की अनुमति देता है, जो बेहतर और अधिक गतिशील अनुमानों के लिए बना है।