चतुर्थांश

एक चतुर्थक क्या है?

एक चतुर्थक एक सांख्यिकीय शब्द है जो डेटा के मूल्यों के आधार पर चार परिभाषित अंतराल में टिप्पणियों के एक विभाजन का वर्णन करता है और वे टिप्पणियों के पूरे सेट की तुलना कैसे करते हैं। 

चौकड़ी को समझना

चतुर्थक को समझने के लिए, केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय के  रूप  में माध्यिका को समझना महत्वपूर्ण है  । आंकड़ों में माध्य संख्या के समुच्चय का मध्य मान है। यह वह बिंदु है जिस पर लगभग आधा डेटा केंद्रीय मूल्य से नीचे और ऊपर रहता है।

इसलिए, 13 नंबर का एक सेट दिया गया है, मध्यक्रम सातवें नंबर पर होगा। इस मान से पहले के छह नंबर डेटा में सबसे कम संख्याएँ हैं, और माध्यिका के बाद के छह नंबर दिए गए डेटासेट में सबसे अधिक संख्या हैं। क्योंकि वितरण में मध्यमान अत्यधिक मूल्यों या आउटलेर्स से प्रभावित नहीं होता है, इसे कभी-कभी माध्य पसंद किया जाता  है ।

मंझला स्थान का एक मजबूत आकलनकर्ता है, लेकिन इस बारे में कुछ नहीं कहता है कि इसके मूल्य के दोनों ओर डेटा कैसे फैला या फैला हुआ है। थाट जहाँ चतुर्थक में कदम है। चतुर्थक चार समूहों में वितरण को विभाजित करके माध्य से ऊपर और नीचे के मूल्यों के प्रसार को मापता है।

चाबी छीन लेना

• चतुर्थक वितरण को चार समूहों में विभाजित करके माध्य के ऊपर और नीचे मूल्यों के प्रसार को मापता है।
• एक चतुर्थक डेटा को तीन बिंदुओं में विभाजित करता है- एक निचला चतुर्थक, मध्य और ऊपरी चतुर्थक – जो डेटासेट के चार समूह बनाता है।
• इंटररार्टाइल रेंज की गणना करने के लिए क्वार्टराइल का उपयोग किया जाता है, जो कि माध्यिका के चारों ओर परिवर्तनशीलता का एक उपाय है।

कैसे चतुर्थक काम करते हैं

जैसे कि माध्य डेटा को आधे में विभाजित करता है, ताकि माप का 50% माध्यिका से नीचे और 50% इसके ऊपर स्थित हो, चतुर्थक डेटा को तिमाहियों में तोड़ता है ताकि 25% माप निचले चतुर्थक से कम हो, 50 % माध्यिका से कम हैं, और 75% ऊपरी चतुर्थक से कम हैं।

एक चतुर्थक डेटा को तीन बिंदुओं में विभाजित करता है- एक निचला चतुर्थक, मध्य और ऊपरी चतुर्थक – जो डेटासेट के चार समूह बनाता है। निचली चतुर्थक या पहली चतुर्थक को Q1 के रूप में निरूपित किया जाता है और मध्य संख्या है जो कि डेटासेट और माध्यिका के सबसे छोटे मान के बीच आती है। दूसरी चतुर्थक, Q2, भी माध्यिका है। क्यू 3 के रूप में चिह्नित ऊपरी या तीसरा चतुर्थक, केंद्रीय बिंदु है जो मध्यिका और वितरण की उच्चतम संख्या के बीच स्थित है।

अब, हम चतुष्कोण से बने चार समूहों का मानचित्र बना सकते हैं। मूल्यों के पहले समूह में Q1 तक की सबसे छोटी संख्या शामिल है; दूसरे समूह में मंझला के लिए Q1 शामिल है; तीसरा सेट Q3 के लिए माध्यिका है; चौथी श्रेणी में पूरे सेट के उच्चतम डाटापॉइंट में Q3 शामिल हैं।

प्रत्येक चौकड़ी में कुल टिप्पणियों का 25% शामिल है। आम तौर पर, डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक व्यवस्थित किया जाता है:

1. पहली चतुर्थक: सबसे कम 25% संख्या
2. दूसरी चतुर्थक : 25.1% और 50% (माध्यिका तक) के बीच
3. तीसरी चतुर्थक: 50.1% से 75% (माध्यिका के ऊपर)
4. चौथा चतुर्थांश: सबसे अधिक 25% संख्या

चौकड़ी का उदाहरण

मान लीजिए कि आरोही क्रम में 19 छात्रों की कक्षा में गणित के अंकों का वितरण है:

59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

सबसे पहले, मंझला, Q2 को चिह्नित करें, जो इस मामले में 10 वें मूल्य: 75 है।

Q1 सबसे छोटे स्कोर और माध्यिका के बीच का केंद्रीय बिंदु है। इस मामले में, Q1 पहले और पांचवें स्कोर के बीच आता है: 68. ध्यान दें कि एक विषम सेट के लिए Q1 या Q3 की गणना करते समय माध्यिका को भी शामिल किया जा सकता है। यदि हम मध्य बिंदु के दोनों ओर माध्यिका को शामिल करते हैं, तो Q1 पहले और 10 वें स्कोर के बीच का मध्य मान होगा, जो पांचवें और छठे स्कोर का औसत है- (पांचवां + छठा) / 2 = ( 68 + 69) / 2 = 68.5]।

Q3, Q2 और उच्चतम स्कोर के बीच का मध्य मान है: 84. [या यदि आप माध्यिका को शामिल करते हैं, तो Q3 = (82 + 84) / 2 = 83]।

अब जब हमारे पास हमारी चौकड़ी है, तो आइए उनकी संख्या की व्याख्या करें। 68 (Q1) का स्कोर पहली चतुर्थक का प्रतिनिधित्व करता है और 25 वें  प्रतिशतक है। 68 उपलब्ध डेटा में निर्धारित स्कोर के निचले आधे का माध्यिका है- यानी स्कोर का औसत 59 से 75 तक है।

Q1 हमें बताता है कि 25% स्कोर 68 से कम हैं और 75% वर्ग स्कोर अधिक हैं। Q2 (औसत) 50 वें  प्रतिशत है और दिखाता है कि 50% स्कोर 75 से कम हैं, और 50% स्कोर 75 से ऊपर हैं। आखिरकार, Q3, 75 वें प्रतिशत, से पता चलता है कि 25% स्कोर हैं अधिक से अधिक और 75% 84 से कम है।

विशेष ध्यान

अगर Q1 के लिए डेटापॉइंट, मीडियाियन से Q3 से बहुत दूर है, तो हम कह सकते हैं कि बड़े मानों की तुलना में डेटासेट के छोटे मूल्यों में अधिक फैलाव है। यही तर्क लागू होता है यदि Q3, Q1 से दूर है, Q1 से मंझला है।

वैकल्पिक रूप से, यदि समान अंकों के अंक हैं, तो मध्य दो संख्याओं का औसत औसत होगा। ऊपर दिए गए हमारे उदाहरण में, यदि हमारे पास 19 के बजाय 20 छात्र थे, तो उनके अंकों का औसत  10 वें और 11 वें नंबर का अंकगणितीय औसत होगा  ।

इंटररार्टाइल रेंज की गणना करने के लिए क्वार्टराइल का उपयोग किया जाता है, जो कि माध्यिका के चारों ओर परिवर्तनशीलता का एक उपाय है। इंटरक्वेर्टाइल रेंज की गणना पहले और तीसरे क्वार्टराइल के बीच के अंतर के रूप में की जाती है: Q3-Q1। वास्तव में, यह डेटा के मध्य आधे हिस्से की सीमा है जो दिखाता है कि डेटा कितना फैला हुआ है।

बड़े डेटासेट के लिए, Microsoft Excel में क्वार्टर्टाइल्स की गणना करने के लिए एक QUARTILE फ़ंक्शन है।