उपयोग और सीमा की अस्थिरता

निवेशक उच्च रिटर्न के वादे पर ध्यान केंद्रित करना पसंद करते हैं, लेकिन उन्हें यह भी पूछना चाहिए कि इन रिटर्न के बदले उन्हें कितना जोखिम उठाना चाहिए। यद्यपि हम अक्सर सामान्य अर्थों में जोखिम की बात करते हैं, जोखिम-इनाम संबंध की औपचारिक अभिव्यक्ति भी हैं।

उदाहरण के लिए, शार्प अनुपात जोखिम की प्रति यूनिट अतिरिक्त वापसी को मापता है, जहां जोखिम की गणना अस्थिरता के रूप में की जाती है, जो एक पारंपरिक और लोकप्रिय जोखिम उपाय है। इसके सांख्यिकीय गुणों को अच्छी तरह से जाना जाता है और यह कई रूपरेखाओं में खिलाता है, जैसे कि आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत और ब्लैक-स्कोल्स मॉडल । इस लेख में, हम इसके उपयोग और इसकी सीमाओं को समझने के लिए अस्थिरता की जांच करते हैं।

वार्षिक मानक विचलन

निहित अस्थिरता के विपरीत जो कि मूल्य निर्धारण सिद्धांत के अंतर्गत आता है और बाजार की सहमति के आधार पर एक अग्रगामी अनुमान है-नियमित अस्थिरता पिछड़ी हुई लगती है। विशेष रूप से, यह ऐतिहासिक रिटर्न का वार्षिक मानक विचलन है ।

पारंपरिक जोखिम ढांचे जो मानक विचलन पर भरोसा करते हैं, आमतौर पर मानते हैं कि रिटर्न सामान्य घंटी के आकार के वितरण के अनुरूप है। सामान्य वितरण हमें आसान दिशा निर्देश देते हैं: लगभग दो-तिहाई समय (68.3%), रिटर्न एक मानक विचलन (+/-) के भीतर गिरना चाहिए; और 95% समय, रिटर्न दो मानक विचलन के भीतर गिरना चाहिए। एक सामान्य वितरण ग्राफ के दो गुण पतले “पूंछ” और पूर्ण समरूपता हैं। स्कीनी रिटर्न की बहुत कम घटना (लगभग 0.3% समय) का अर्थ है जो औसत से तीन मानक विचलन से अधिक है। समरूपता का तात्पर्य है कि उल्टा लाभ की आवृत्ति और परिमाण नीचे की ओर नुकसान की दर्पण छवि है ।

नतीजतन, पारंपरिक मॉडल दिशा की परवाह किए बिना सभी अनिश्चितता को जोखिम के रूप में मानते हैं। जैसा कि कई लोगों ने दिखाया है, कि एक समस्या है अगर रिटर्न सममित नहीं है – निवेशक अपने नुकसान के बारे में औसत के “बाईं ओर” चिंता करते हैं, लेकिन वे औसत के अधिकार के लिए लाभ के बारे में चिंता नहीं करते हैं।

हम दो काल्पनिक शेयरों के साथ इस क्वर्की को नीचे चित्रित करते हैं। गिरते हुए स्टॉक (नीली रेखा) पूरी तरह से फैलाव के बिना है और इसलिए शून्य की अस्थिरता पैदा करता है, लेकिन बढ़ते स्टॉक- क्योंकि यह कई उल्टे झटके दिखाता है लेकिन एक भी बूंद नहीं – 10% की अस्थिरता (मानक विचलन) पैदा करता है।

सैद्धांतिक गुण

उदाहरण के लिए, जब हम 31 जनवरी, 2004 तक एसएंडपी 500 इंडेक्स के लिए अस्थिरता की गणना करते हैं, तो हम 14.7% से 21.1% तक कहीं भी प्राप्त करते हैं। ऐसी सीमा क्यों? क्योंकि हमें एक अंतराल और एक ऐतिहासिक अवधि दोनों का चयन करना चाहिए। अंतराल के संबंध में, हम मासिक, साप्ताहिक या दैनिक (यहां तक ​​कि इंट्रा-दैनिक) रिटर्न की एक श्रृंखला एकत्र कर सकते हैं। और रिटर्न की हमारी श्रृंखला किसी भी लम्बाई, जैसे तीन साल, पांच साल या 10 साल की ऐतिहासिक अवधि में वापस बढ़ सकती है। नीचे, हमने तीन अलग-अलग अंतराल का उपयोग करते हुए 10-वर्ष की अवधि में एस एंड पी 500 के लिए रिटर्न के मानक विचलन की गणना की है:

ध्यान दें कि अंतराल बढ़ने पर अस्थिरता बढ़ती है, लेकिन अनुपात में लगभग नहीं: साप्ताहिक दैनिक राशि से लगभग पांच गुना नहीं है और मासिक साप्ताहिक से लगभग चार गुना नहीं है। हम यादृच्छिक वॉक सिद्धांत के एक प्रमुख पहलू पर पहुंचे हैं : समय के वर्गमूल के अनुपात में मानक विचलन तराजू (बढ़ता)। इसलिए, यदि दैनिक मानक विचलन १.१% है, और यदि वर्ष में २५० व्यापारिक दिन हैं, तो वार्षिक मानक विचलन १.१% का दैनिक मानक विचलन २५० के वर्गमूल से गुणा (१.१% x १५. = = १ %.१%) है । यह जानकर, हम एक वर्ष में अंतराल की संख्या के वर्गमूल से गुणा करके S & P 500 के लिए अंतराल मानक विचलन को वार्षिक कर सकते हैं :

अस्थिरता का एक और सैद्धांतिक गुण आपको आश्चर्यचकित कर सकता है या नहीं कर सकता है: यह रिटर्न को मिटा देता है। यह यादृच्छिक वॉक विचार की प्रमुख धारणा के कारण है: यह रिटर्न प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है। कल्पना करें कि आप $ 100 से शुरू करते हैं और फिर $ 110 प्राप्त करने के लिए 10% प्राप्त करते हैं। फिर आप 10% खो देते हैं, जो आपको $ 99 ($ ​​110 x 90% = $ 99) पर नेट करता है। फिर आप $ 10 को फिर से हासिल करते हैं, $ 108.90 ($ 99 x 110% = $ 108.9)। अंत में, आप $ 98.01 का शुद्ध 10% खो देते हैं। यह काउंटर-सहज हो सकता है, लेकिन आपका प्रिंसिपल धीरे-धीरे मिट रहा है, भले ही आपका औसत लाभ 0% हो!

यदि, उदाहरण के लिए, आप प्रति वर्ष 10% की औसत वार्षिक लाभ (यानी, अंकगणितीय औसत) की अपेक्षा करते हैं, तो यह पता चलता है कि आपका दीर्घकालिक लाभ प्रति वर्ष 10% से कम है। वास्तव में, यह लगभग आधा विचरण (जहां विचरण मानक विचलन चुकता है) से कम हो जाएगा। नीचे दिए गए शुद्ध काल्पनिक में, हम $ 100 से शुरू करते हैं और फिर $ 157 के साथ समाप्त होने के पांच साल की अस्थिरता की कल्पना करते हैं:

क्या रिटर्न वेल-बिहेव्ड हैं? सैद्धांतिक रूपरेखा कोई संदेह नहीं है, लेकिन यह अच्छी तरह से व्यवहार किए गए रिटर्न पर निर्भर करता है। अर्थात्, एक सामान्य वितरण और एक यादृच्छिक चलना (यानी एक अवधि से अगले तक स्वतंत्रता)। यह वास्तविकता से कैसे तुलना करता है? हमने पिछले 10 वर्षों के लिए S & P 500 और नैस्डैक के लिए दैनिक रिटर्न जमा किया (लगभग 2,500 दैनिक अवलोकन):

जैसा कि आप उम्मीद कर सकते हैं, नैस्डैक (28.8% की वार्षिक मानक विचलन) की अस्थिरता एस एंड पी 500 (18.1% पर वार्षिक मानक विचलन) की अस्थिरता से अधिक है। हम सामान्य वितरण और वास्तविक रिटर्न के बीच दो अंतर देख सकते हैं । सबसे पहले, वास्तविक रिटर्न में ऊंची चोटियां होती हैं – जिसका अर्थ है औसत के करीब रिटर्न का अधिक से अधिक होना। दूसरा, वास्तविक रिटर्न में मोटी पूंछ होती है। (हमारे निष्कर्षों को अधिक व्यापक शैक्षणिक अध्ययनों के साथ कुछ हद तक संरेखित किया गया है, जो ऊंची चोटियों और वसा पूंछ को खोजने के लिए करते हैं; इसके लिए तकनीकी शब्द कुर्टोसिस है )। मान लें कि हम माइनस तीन मानक विचलन को एक बड़ा नुकसान मानते हैं: एस एंड पी 500 ने माइनस तीन मानक विचलन के दैनिक नुकसान का अनुभव किया, जो लगभग -3.4% था। सामान्य वक्र इस तरह की हानि की भविष्यवाणी करता है 10 वर्षों में लगभग तीन बार नुकसान होगा, लेकिन यह वास्तव में 14 बार हुआ!

ये अलग-अलग अंतराल के रिटर्न के वितरण हैं, लेकिन समय के साथ रिटर्न के बारे में सिद्धांत क्या कहता है? परीक्षण के रूप में, आइए उपरोक्त S & P 500 के वास्तविक दैनिक वितरण पर एक नज़र डालें। इस मामले में, औसत वार्षिक रिटर्न (पिछले 10 वर्षों में) लगभग 10.6% था और, जैसा कि चर्चा की गई थी, वार्षिक अस्थिरता 18.1% थी। यहां हम $ 100 से शुरू करके और 10 वर्षों में इसे पकड़कर एक काल्पनिक परीक्षण करते हैं, लेकिन हम हर साल एक यादृच्छिक परिणाम के लिए निवेश को उजागर करते हैं, जो 18.1% के मानक विचलन के साथ 10.6% था। यह परीक्षण 500 बार किया गया, जिससे यह मोंटे कार्लो सिमुलेशन बन गया । 500 परीक्षणों के अंतिम मूल्य परिणाम नीचे दिखाए गए हैं:

एक सामान्य वितरण को केवल गैर-सामान्य मूल्य परिणामों को उजागर करने के लिए पृष्ठभूमि के रूप में दिखाया गया है। तकनीकी रूप से, अंतिम मूल्य परिणाम सामान्य हैं (इसका अर्थ है कि यदि x- अक्ष को x के प्राकृतिक लॉग में बदल दिया गया, तो वितरण अधिक सामान्य दिखेगा)। मुद्दा यह है कि कई मूल्य परिणाम सही तरीके से खत्म हो रहे हैं: 500 परीक्षणों में से, छह परिणामों ने $ 700 अंत-अवधि का परिणाम तैयार किया! इन कीमती कुछ परिणामों में औसतन 20%, प्रत्येक वर्ष, 10 वर्षों में अर्जित करने में कामयाब रहे। बाएं हाथ की ओर, क्योंकि एक संतुलन संतुलन प्रतिशत नुकसान के संचयी प्रभाव को कम करता है, हमें केवल कुछ अंतिम परिणाम मिले जो $ 50 से कम थे। एक कठिन विचार को संक्षेप में कहने के लिए, हम कह सकते हैं कि अंतराल रिटर्न – प्रतिशत शब्दों में व्यक्त किया जाता है – सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, लेकिन अंतिम मूल्य परिणाम लॉग-सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

अंत में, हमारे परीक्षणों की एक और खोज अस्थिरता के “क्षरण प्रभाव” के अनुरूप है: यदि आपका निवेश प्रत्येक वर्ष बिल्कुल औसत अर्जित करता है, तो आप अंत में लगभग 273 डॉलर (10 वर्षों में 10.6% मिश्रित) अर्जित करेंगे। लेकिन इस प्रयोग में, हमारा कुल अनुमानित लाभ $ 250 के करीब था। दूसरे शब्दों में, औसत (अंकगणित) वार्षिक लाभ 10.6% था, लेकिन संचयी (ज्यामितीय) लाभ कम था।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारा अनुकरण एक यादृच्छिक चलना मानता है: यह मानता है कि एक अवधि से दूसरी अवधि तक रिटर्न पूरी तरह से स्वतंत्र है। हमने साबित नहीं किया है कि किसी भी तरह से, और यह एक तुच्छ धारणा नहीं है। यदि आप मानते हैं कि रिटर्न ट्रेंड का अनुसरण करते हैं, तो आप तकनीकी रूप से कह रहे हैं कि वे सकारात्मक सीरियल सहसंबंध दिखाते हैं । यदि आपको लगता है कि वे माध्य में वापस आते हैं, तो तकनीकी रूप से आप कह रहे हैं कि वे नकारात्मक सीरियल सहसंबंध दिखाते हैं। स्वतंत्रता के अनुरूप न तो रुख है।

निचला रेखा अस्थिरता वार्षिक रिटर्न के मानक विचलन है। पारंपरिक सैद्धांतिक ढांचे में, यह न केवल जोखिम को मापता है, बल्कि दीर्घकालिक (बहु-अवधि) रिटर्न की उम्मीद को प्रभावित करता है। जैसे, यह हमें संदिग्ध मान्यताओं को स्वीकार करने के लिए कहता है कि अंतराल रिटर्न सामान्य रूप से वितरित और स्वतंत्र है। यदि ये धारणाएं सच हैं, तो उच्च अस्थिरता एक दोधारी तलवार है: यह आपके अपेक्षित दीर्घकालिक रिटर्न को नष्ट कर देता है (यह ज्यामितीय औसत में अंकगणितीय औसत को कम करता है), लेकिन यह आपको कुछ बड़े लाभ प्रदान करने के लिए अधिक संभावनाएं भी प्रदान करता है।